Eine Lösung der Schrödingergleichung eines freien Teilchens (ohne Potential)

lautet:

mit

Aus und folgt (De Broglie Beziehung)

Allgemeine Lösungen lassen sich durch folgende Linearkombination darstellen:

deren Koffizienten A und B für jedes Problem bestimmt werden müssen.

Im Fall der Potentialfreien Bewegung war eine mögliche Lösung (siehe oben)

Ebenso ist

eine Lösung der potentialfreie Schrödingergleichung, in diesem Fall mit , was einem Impuls des Teilchens in die entgegengesetzte Richtung entspricht.

Frage: Ist die obige Form mit A = B auch eine Lösung der Schrödingergleichung?

Auch dies ist eine Eigenfunktion zur Schrödingergleichung.

Frage: Was ist mit dem Impuls des Teilchens?

was keine Eigenwertgleichung darstellt. Wenn man eine reale Messung des Impulses vornimmt, so findet man in der Hälfte der Fälle (bei vielen Messungen) eine Impuls von , in der anderen Hälfte von .

Man kann also die Wellenfunktion y schreiben als:

Allgemein kann man jede Wellenfunktion nach:

entwickeln. Die Wahrscheinlichkeit bei einer Reihe von Messungen den Eigenwert zu einer Eigenfunktion y _n zu erhalten ist proportional zum Quadrat von c_n (bzw. wenn c komplex ist zu c*c).

Jede Einzelmessung liefert einen Einzelwert, der nicht vorhergesagt werden kann.