Gradient
Der Gradient einer Funktion j (x,y,z) ist ein
Vektor:
Der Gradient steht senkrecht auf den Niveauflächen j = const. und zeigt in Richtung der größten Veränderung von j (x,y,z). Der Betrag des Gradienten ist ein Maß für die Änderung des Funktionswertes senkrecht zu den Niveauflächen.
Der Gradient einer Funktion j läßt sich mit dem
Nablaoperator Ñ ausdrücken als:
Divergenz
Die Divergenz eines Vektorfeldes v(x,y,z) in
Skalar:
Die Divergenz eines homogenen Vektorfeldes ist Null. Wenn die Divergenz an einer Stelle von Null verschieden ist, ändert sich die Dichte der
Feldlinien an dieser Stelle. Zum Beispiel hat das Vektorfeld v(x,y,z)=(x,y,z) die Divergenz:
Mit Hilfe des Nablaoperators wird die Divergenz als das Skalarprodukt von Ñ und v ausgedrückt:
Bsp.: Der Gesamtfluß dF durch einen Quader mit dem Volumen V = dxdydz ist gegeben durch:
wobei r die Dichte des strömenden Mediums und vx, vy und vz seine jeweiligen Geschwindigkeitskomponenten sind. Die Divergenz div v gibt an, ob im Volumen des Quaders sich eine Senke (div v < 0), eine Quelle (div v > 0) oder ein quell- und senkenfreies Gebiet vorliegt. So sagt die Maxwellsche Gleichung div B = 0 aus, daß es keine magnetischen Monopole gibt, da alle magnetischen Feldlinien in sich enden oder beginnen. Die Divergenz des elektrischen Feldes ist: div E = r , mit der Ladungsdichte r . Elektrische Monopole sind Quellen und Senken des elektrischen Feldes.
Rotation
Die Rotation eines Vektorfeldes F(x,y,z) ist eine
Determinante:
die einem Vektorfeld F ein anderes Vektorfeld zuordnet. Sie kann als Vektorprodukt des Nablaoperators mit F ausgedrückt werden:
Bsp.: Ein Holzwürfel treibt in einer nichthomogenen Strömung. Die Würfelmitte folgt der Strömung. Das Wasser in der nichthomogenen Strömung würde mit verschiedener Geschwindigkeit dvx am Würfel vorbeiströmen wenn sich dieser nicht drehte. Der Würfel rotiert nun mit einer Winkelgeschwindigkeit w = dv/dx, so daß gilt:
Die Maxwellschen Gleichungen:
drücken aus, daß ein zeitlich veränderliches elektrische Feld (
) ein magnetisches Wirbelfeld erzeugt (rot H) und umgekehrt.
Integralsatz von Gauss:
Umwandlung eines Volumenintegrals über die Divergenz des Vektorfeldes in ein Oberflächenintegral:
Satz von Stokes:
Umwandlung eines Flächenintegrals über die Rotation des Vektorfeldes mit einem Linienintegral:
