Rezept zur Aufstellung der Schrödingergleichung

 

Man formuliert das Problem unter Verwendung der klassischen Hamiltonfunktion, die den physikalischen Zustand von N Teilchen beschreibt:

Die Hamiltonsche Form erhält man aus der "gewohnten" Newtonschen Mechanik indem man die Energie als Funktion der Orts- und Impulsvektoren anstatt als Funktion der Orts- und Geschwindigkeitsvektoren darstellt.

Nun "übersetzt" man die klassische Hamiltonfunktion in den quantenmechanischen Hamiltonoperator.

 

Einschub: Operatoren

Operatoren sind Rechenvorschriften, die anders als skalare Größen nicht dem Kommutativgesetz folgen müssen.

So läßt sich z.B. die Ableitung als Operator auffassen:

Der Operator in diesem Beispiel lautet und er wirkt zu seiner Rechten auf eine beliebige Funktion ein.

Die Anwendung zweier Operatoren auf eine Funktion ist im allgemeinen nicht kommutativ, d.h. für zwei Operatoren A und B gilt: ABy ¹ BAy . Hierbei wirkt der Operator, welcher der Funktion am nächsten steht zuerst auf die Funktion ein.

Diese Eigenschaft ist eigentlich keine Besonderheit. Auch für die Matrixmultiplikation gilt im Allgemeinen:

ABy ¹ BAy

Einige grundlegende Regeln zum Umgang mit Operatoren

Sei Z ein Zoo, d.h. eine Menge von Tieren. Den Teilzoo der Löwen bezeichnen wir mit ZL, den Teilzoo der Tiger mit ZT.

Dann gilt:

Der Operator definiere den Vorgang des Aussortierens von Löwen, das Aussortieren von Tigern.

Es gilt:

 

Führen wir nun folgende Operationen aus:

Wir sehen, daß die Operatoren in diesem einfachen Beispiel kommutativ sind. Sie entsprechen Messungen von kompatiblen Eigenschaften. Kompatible Eigenschaften sind solche, deren Messung nicht von der Reihenfolge abhängt:

Entsprechend gilt für nichtkompatible Eigenschaften:

Nichtkompatible Eigenschaften werden auch als komplementär bezeichnet.

 

Eigenwertgleichungen

Als Observable bezeichnet man die potentielle Eigenschaft eines Systems, die durch einen Operator repräsentiert werden kann.

Im allgemeinen wird hierdurch keine physikalische (Meß)größe aktualisiert.

Nur wenn der Zustandsvektor (die Wellenfunktion) des Systems ein Eigenvektor der Observablen ist, dann wird ein (Meß-)Wert a realisiert. Man beschreibt dies durch die Eigenwertgleichung:

 

Bsp.: Ist eax eine Eigenfunktion des Ableitungsoperators?

Antwort: , d.h. eax ist Eigenfunktion zur Ableitung mit dem Eigenwert a.

eax ist keine Eigenfunktion zur Ableitung, da

Ein idealisiert perfekter Meßvorgang muß einem Operator keinen beliebig genauen Meßwert a zuordnen.

Bsp.: Eine zeitlich unendlich ausgedehnte Welle mit konstanter Frequenz und Amplitude hat einen exakt bestimmbaren Impuls kh . In diesem Fall würde eine perfekte Messung exakt kh ergeben (Der Ort hingegen wäre in diesem Fall komplett unbestimmt).

Überlagert man nun zwei Wellen mit leicht unterschiedlicher Frequenz, so erhält man eine Überlagerung, die eine Schwebung, d.h. eine sich verändernde Amplitude besitzt. In diesem Fall ist der Impuls der Welle nicht mehr beliebig genau meßbar, da eine Einengung der Ortsunschärfe nach der Heisenbergschen Unschärferelation eine Zunahme der Impulsunschärfe bedeutet.

D.h. aufeinanderfolgende Messungen können unterschiedliche Werte liefern; die (beliebig genau messbaren) Eigenwerte a müssen dann durch Erwartungswerte des Operators ersetzt werden, die der Verteilung der Meßwerte Rechnung tragen. Diese ist nicht auf eine meßtechnische Verteilung zurückzuführen, sondern ist eine Folge davon, daß die Eigenwertgleichung mehrere Lösungen besitzen kann. Bei aufeinanderfolgenden Messungen werden alle möglichen Lösungen realisiert.

Erwartungswerte

Mit Hilfe der Operatoren kann man auch die Erwartungswerte der entsprechenden Observablen berechnen.

Der Erwartungswert von A in einem System, das durch eine normierte Wellenfunktion y beschrieben wird ist definiert als:

Wenn zwei Operatoren und gleichzeitig dieselben Eigenfunktionen y haben, so sind die Größen A und B gleichzeitig scharf meßbar.

Kommutatoren

Der Kommutator zweier Operatoren ist definiert als:

Ist der Kommutator Null, so sind die Größen A und B kompatibel, d.h. gleichzeitig scharf meßbar.

Wichtige Beispiele nichtkompatibler, komplementärer Größen und ihre Kommutatoren:

Quantenmechanische Operatoren

Zur Beschreibung quantenmechanischer Systeme "übersetzt" man den klassischen Ort und den Impuls gemäß der folgenden Vorschrift:

Observable (klassisch)

x

p

L

Operator (quantenmechanisch)

x

 

Alle für uns relevanten Größen lassen sich als Funktionen von Ort und/oder Impuls darstellen, so daß wir mit diesen beiden Relationen auskommen.

 

 

Bsp.: Geschwindigkeit

Kinetische Energie

 

 

Zurück zum ursprünglichen Problem:

Der Einfachkeit halber wird das eindimensionale Problem mit N = 1 betrachtet.

Ersetzen von p durch :

Einsetzen des ermittelten Hamiltonoperators in die zeitunabhängige Schrödingergleichung (Eigenwertgleichung):

Es kommt immer darauf an den entsprechenden Hamiltonoperator für das Problem zu formulieren. Das Lösen der Eigenwertgleichung führt dann zur Observable Energie.

Matrixdarstellung der Eigenwertprobleme

Eigenwertgleichung kann man mit den Rechenregeln für Matrizen oft einfacher lösen. Der Operator entspricht dabei einer n x n Matrix, die Wellenfunktion einem Vektor mit n Elementen und a den n Eigenwerten die die Eigenwertgleichung erfüllen.

Die Elemente der Matrix lassen sich folgendermaßen ermitteln:

Diagonalisiert man die Matrix Aij, so stellen die n Diagonalelemente direkt die gesuchten Eigenwerte a dar.